F_Mat_001

Ha már sikeresen teljesítetted a matematika_haladó tematikát, ideje szintet lépni és megismerkedni A MATEMATIKÁVAL. Ez az, amivel az egyetem/főiskola a gólyákat lesokkolja. Ahogy az előző bejegyzésben írtam, szerintem nagyon sok fehér folt van a középiskolai és az egyetemi matematika között, ez próbáltam a haladó tematikával a lehetőségekhez mérten betömni.

Miről szól az egyetemi matematika?

A röviden szeretném megfogalmazni, akkor egy csomó integrálás, deriválás, differenciálegyenlet, vektorterek meg némi valószínűségszámítás. Elsőre nem is tűnik annyira veszélyesnek, pedig az. A legnagyobb ellenséged az időhiány. Rád zuhan a hirtelen jött nagy szabadság, senki sem kér számon, nincs este 10-kor lefekvés. Tiéd a világ és a magad ura vagy. Látszólag. Aztán karácsony felé már biztosan túl vagy az első rémületen, látod lelki szemeid előtt az „elégtelent” a leckekönyvben.

Elárulok egy nagy titkot – igaz, ez én is csak évekkel később tudtam meg:

Az első féléves matematika egyszerű

Egyszerű teljesíteni és elszúrni is. Fókuszáljunk inkább arra, hogyan lehet teljesíteni. Első körben a mesterévé kell válnod a deriválásnak, majd az integrálásnak. Az egyik kedvenc filmem – már csak zenéje miatt is – az Eredet. Ha láttad a filmet, akkor biztosan tudod, hogy az álom és a valóság között nehéz különbséget tenni, ezért minden szereplő rendelkezik egy totemmel, aminek kizárólag ők ismerik a „megfelelő működését”. A Leonardo DiCaprio által megformált Cobb totemj egy pörgettyű:

Ha most azt a feladatot kapnánk, hogy határozzuk meg Cobb totemének térfogatát, mit csinálnánk? Látható, hogy ez a test nem egy „egyszerű” alakzat, így középiskolás matematikával nehéz lenne meghatározni a térfogatát. Ha középiskolás matematika most nem segít, a fizika most nem hagy minket cserben. Arkhimédész törvénye érvényes a Földön, vagyis ha veszünk egy hengeres edényt (egyszerűen ki tudjuk számolni a térfogatát), feltöltjük vízzel (ismerjük a sűrűségét), majd beledobjuk Cobb totemét. A víz felszíne valamennyivel magasabb lesz, lemérjük a vízszint magasságának változást, majd ebből meghatározzuk a totem térfogatát.

Na jó, ehhez nem kell egyetemre menni, a konyhában is el lehet végezni. Ez így van, de most tegyük fel a kérdést úgy, hogy kint vagyunk a Világűrben. Ott némi gond adódna a jó öreg Arkhimédész törvényével. Nincs más lehetőségünk, itt és most számolnunk kell:

$\displaystyle V = \int_{0}^{h} \int_{0}^{R(z)} \int_{0}^{2\pi} r , d\theta , dr , dz$

A deriválás és integrálás segítségével ilyen és ehhez hasonló térfogatok számíthatóak ki. De nem csak erre jó – terület, görbék alatti területek, ívhosszok, pillanatnyi sebesség és gyorsulás meghatározása sem működne deriválás és integrálás nélkül.. Vagyis ha az első éves matek nem megy, akkor gondban leszel a mechanika, fizika, elektromosságtan tárgyakkal is…

Fokozzuk a szenvedést

A következő nagy témakör a differenciálegyenletek és vektorterek. Nem, nem azért van kitalálva, hogy neked még rosszabb legyen, hanem azért, hogy egyre bonyolultabb mozgástani, áramlástani, elektronikai problémákat tudj megoldani.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény és az egyenlet a függvény függvénye – rendszerint idő szerinti függvénye. Valószínűleg az ilyen definícióktól ökölbe szorul a talpad, elszakad a pohár és betelik a cérna. Mondok inkább mást. Manapság milliárdos rakétákat épít és teleműholdazza az éjszakai égboltot. Tegyünk mi is így, de csak gondolatban.

A rakéta feladata, hogy a műholdat Föld körüli pályára állítsa, ehhez előbb el kell érni az első kozmikus sebességet. Vagyis, úgy kell megtervezni a rakéta hajtóművét, hogy a 28480km/h-s sebességet biztonsággal elérjük. A rakéta hajtóművében – most vegyünk egy folyékony hajtóanyaggal működő rendszert – kémiai reakciók során tolóerőt hozunk létre. Ez a tolóerő emeli fel a rakétát a kilövőállásról és viszi az űr felé. A hajtóműből konstans sebességgel áramlik ki az égéstermék, közben fogy a hajtóanyag tömege is. Newton óta tudjuk, hogy $F=ma$, vagyis a rakétánk tömege egyre kisebb lesz, a kiáramló égéstermékek meg konstans erőt hoznak létre a mozgás irányával ellentétesen. Közben a rakétánk egyre nagyobb sebességgel halad és ezt egy szép differenciálegyenlettel tudjuk leírni:

$\displaystyle \Delta V=-c\left( 1-\frac{\left( 1-S \right)M_r}{P+M_r} \right)$

• $S$ – viszonyszám, a rakéta tömege hajtóanyag nélkül osztva a rakéta teljes tömegével (rakéta + üzemanyag + rakomány)
• $P$ – rakomány tömege
• $M_r$ – rakéta tömege + üzemanyag
• $c$ – kiáramló égéstermék sebessége – konstans

Az egyenletet most nem fogjuk megoldani, csupán egy látványos példával szerettem volna érzékeltetni, mennyire fontosak a differenciálegyenletek. E

Komolyabb – reálisabb – fizikai probléma megoldása differenciálegyenletek nélkül nem lehetséges

Aztán majd jönnek a vektorterek, Laplace-transzformáció, valószínűségszámítás… Végezetül írok ide magamnak egy második szamárvezetőt, mikről is kell majd videót csinálnom, illetve feladatokat készíteni.

Mi várható ebben a kategóriában

Magasabb szintű kinematikai, dinamikai, lengéstani, elektromágneses, stb. feladatok magasabb matematika nélkül nehezen oldhatóak meg, ez egyben azt is jelenti, ha a második vagy harmadik féléves matekkal gond van, akkor ezekkel a tantárgyakkal is gond lesz. Ilyenkor szoktak sokan begyűjteni legalább 2 félévnyi lemaradást. Mindenkinek más a célja, legtöbbször csak annyi, hogy valahogy átvergődjön a matematika szigorlaton és viszontlátásra. Viszont hidd el, egy izmosabb matematikai háttérapparátussal a tarsolyodban a munkádban gyorsan tudsz a „megoldó ember” lenni. Csak arra kell vigyázni, hogy ne ugyanannyiért oldd meg mindenki problémáját – majd erről is fogok még írni.

Most csak összeírom ide magunknak, miről is lesz ebben a kategóriában:

Ez sem lesz kevés…