Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=2x+1$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=x^2-4$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=x^4+2x^3+x^2+2x-2$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=x^3-3x$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\left|x-2\right|$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\sqrt{x+1}$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y_{1}=1/(x-1)$
$\displaystyle x=1$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\exp(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\ln(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\log_{10}(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\sin(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\cos(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\tan(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\arcsin(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\arccos(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\arctan(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\sinh(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\cosh(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\tanh(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(3\cdot x^2-2\cdot x-1)/(2\cdot x^2+3\cdot x-2)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(3\cdot x^2-2\cdot x-1)/(2\cdot x^2+3\cdot x-2)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(2\cdot x^2+7\cdot x-4)/(x^2+x-2)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(x^2-4\cdot x)/(2\cdot x^2+2\cdot x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(x^2-4)/(2\cdot x^2+2\cdot x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=5\cdot x^4+6\cdot x^3-4\cdot x-5$
Függvények / egyenletek
lineáris
$\displaystyle y_{1}=2\cdot x+1$
parabola
$\displaystyle y_{2}=x^2-4$
köbös
$\displaystyle y_{3}=x^3-3\cdot x$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y_{1}=1/(x-1)$
$\displaystyle y_{2}=1/(x+1)$
$\displaystyle y_{3}=(x-1)-8/(x-3)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x(t)=3\cdot \cos(t);y(t)=3\cdot \sin(t);tmin=0;tmax=2\cdot \pi$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x(t)=4\cdot \cos(t);y(t)=2\cdot \sin(t);tmin=0;tmax=2\cdot \pi$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x(t)=t; y(t)=2\cdot t+1; tmin=-3; tmax=3$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2=9$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2/16+y^2/4=1$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y^2=4\cdot x$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2-y^2=1$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\ge x^2$
$\displaystyle y\le 4$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x+y\le 4$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\le \cos(x)$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\le \tan(x)$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\ge \sin(x)$
$\displaystyle y\le 0.5$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=\sin(x)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x^2+y^2\le 9$
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\ge x^2$
$\displaystyle y\le 4$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle x\ge 0$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x+y\le 4$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\le \cos(x)$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\le \tan(x)$
$\displaystyle y\ge 0$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y\ge \sin(x)$
$\displaystyle y\le 0.5$
$\displaystyle x\ge 0$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(x-1)-8/(x-3)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y_{1}=(x-1)-8/(x-3)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=x^2/(x-2)$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(x^2-2x-8)/x$
Függvények / egyenletek
$\displaystyle y=(x^3+4)/(2x^2+x-1)$
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 2 + i$ | 2.23607 | $\displaystyle 0.14758\pi$ | $\displaystyle 2.23607\angle 0.14758\pi$ | $\displaystyle 2 – i$ |
| z2 | $\displaystyle 1 + 2i$ | 2.23607 | $\displaystyle 0.35242\pi$ | $\displaystyle 2.23607\angle 0.35242\pi$ | $\displaystyle 1 – 2i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=2 + i=2.23607\left(\cos\left(0.14758\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.14758\pi\right)\right)=2.23607e^{i0.14758\pi}$
$\displaystyle z2=1 + 2i=2.23607\left(\cos\left(0.35242\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.35242\pi\right)\right)=2.23607e^{i0.35242\pi}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ | $\displaystyle 5i$ | 5 | $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle 5\angle \frac{\pi}{2}$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 2$ | 2 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 2\angle 0$ | $\displaystyle 2$ |
| z2 | $\displaystyle 3$ | 3 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 3\angle 0$ | $\displaystyle 3$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$
$\displaystyle z2=3=3\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=3e^{i0}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ | $\displaystyle 6$ | 6 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 6\angle 0$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 3 + 2i$ | 3.60555 | $\displaystyle 0.18717\pi$ | $\displaystyle 3.60555\angle 0.18717\pi$ | $\displaystyle 3 – 2i$ |
| z2 | $\displaystyle i$ | 1 | $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle 1\angle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle -i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=3 + 2i=3.60555\left(\cos\left(0.18717\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.18717\pi\right)\right)=3.60555e^{i0.18717\pi}$
$\displaystyle z2=i=1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=1e^{i\frac{\pi}{2}}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ | $\displaystyle -2 + 3i$ | 3.60555 | $\displaystyle 0.68717\pi$ | $\displaystyle 3.60555\angle 0.68717\pi$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 4 + 2i$ | 4.47214 | $\displaystyle 0.14758\pi$ | $\displaystyle 4.47214\angle 0.14758\pi$ | $\displaystyle 4 – 2i$ |
| z2 | $\displaystyle 1 + i$ | 1.41421 | $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 1.41421\angle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 1 – i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=4 + 2i=4.47214\left(\cos\left(0.14758\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.14758\pi\right)\right)=4.47214e^{i0.14758\pi}$
$\displaystyle z2=1 + i=1.41421\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{\pi}{4}}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ | $\displaystyle 3 – i$ | 3.16228 | $\displaystyle 1.89758\pi$ | $\displaystyle 3.16228\angle 1.89758\pi$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 6$ | 6 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 6\angle 0$ | $\displaystyle 6$ |
| z2 | $\displaystyle 2$ | 2 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 2\angle 0$ | $\displaystyle 2$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=6=6\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=6e^{i0}$
$\displaystyle z2=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ | $\displaystyle 3$ | 3 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 3\angle 0$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 2 + 2i$ | 2.82843 | $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 2.82843\angle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 2 – 2i$ |
| z2 | $\displaystyle 1 – i$ | 1.41421 | $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$ | $\displaystyle 1.41421\angle \frac{7\pi}{4}$ | $\displaystyle 1 + i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=2 + 2i=2.82843\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2.82843e^{i\frac{\pi}{4}}$
$\displaystyle z2=1 – i=1.41421\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{7\pi}{4}}$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ | $\displaystyle 4$ | 4 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 4\angle 0$ |
| $\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ | $\displaystyle 2i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{2}$ |
Geometriai logika
$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$
$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle 2$ | 2 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 2\angle 0$ | $\displaystyle 2$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$
Gyökök megoldása
$\displaystyle w_k=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)\right]$
$\displaystyle \sqrt[3]{2}=1.25992$
$\displaystyle k=0, 1, 2$
$\displaystyle w_{0}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 0\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 0\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right)=1.25992$
$\displaystyle w_{1}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 1\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 1\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)=-0.62996 + 1.09112i$
$\displaystyle w_{2}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 2\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)=-0.62996 – 1.09112i$
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1}^{3}$ | $\displaystyle z1^{3}=8\left(\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right)=8$ | 8 | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle 8\angle 0$ ; $\displaystyle 8$ |
Geometriai logika
$\displaystyle \lvert z \rvert^{n}\left(\cos(n\theta)+i\cdot\sin(n\theta)\right)$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z | $\displaystyle -64$ | 64 | $\displaystyle \pi$ | $\displaystyle 64\angle \pi$ | $\displaystyle -64$ |
Alakváltás
$\displaystyle z=-64=64\left(\cos\left(\pi\right)+i\cdot\sin\left(\pi\right)\right)=64e^{i\pi}$
Gyökök megoldása
$\displaystyle w_k=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\right)\right]$
$\displaystyle \sqrt[6]{64}=2$
$\displaystyle k=0, 1, 2, 3, 4, 5$
$\displaystyle w_{0}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 0\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 0\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} + i$
$\displaystyle w_{1}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 1\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 1\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=2i$
$\displaystyle w_{2}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 2\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 2\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)=-\sqrt{3} + i$
$\displaystyle w_{3}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 3\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 3\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)=-\sqrt{3} – i$
$\displaystyle w_{4}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 4\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 4\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)=-2i$
$\displaystyle w_{5}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 5\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} – i$
Megoldás / részletek
Komplex infó doboz
Euler / egységkör kapcsolat
$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
$\displaystyle e^{i0}=\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)=1$
Re = cos(θ) = 1, Im = sin(θ) = 0
Komplex infó doboz
Euler / egységkör kapcsolat
$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
$\displaystyle e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
Re = cos(θ) = 0.86603, Im = sin(θ) = 0.5
$\displaystyle z=r e^{i\theta}=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$
$\displaystyle z=2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} + i$
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle \sqrt{3} + i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{6}$ | $\displaystyle \sqrt{3} – i$ |
| z2 | $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle \sqrt{2} – \sqrt{2}i$ |
| z3 | $\displaystyle 1 + \sqrt{3}i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{3}$ | $\displaystyle 1 – \sqrt{3}i$ |
| z4 | $\displaystyle 2i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{2}$ | $\displaystyle -2i$ |
| z5 | $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ | 1 | $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 1\angle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=\sqrt{3} + i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle z2=\sqrt{2} + \sqrt{2}i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{4}}$
$\displaystyle z3=1 + \sqrt{3}i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
$\displaystyle z4=2i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle z5=\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i=1\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1e^{i\frac{\pi}{4}}$
Komplex infó doboz
Alap komplex adatok
| Jel | Algebrai alak | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Polár alak | $\displaystyle \overline{z}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| z1 | $\displaystyle \sqrt{3} + i$ | 2 | $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{6}$ | $\displaystyle \sqrt{3} – i$ |
| z2 | $\displaystyle 1 + i$ | 1.41421 | $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 1.41421\angle \frac{\pi}{4}$ | $\displaystyle 1 – i$ |
| z3 | $\displaystyle -2i$ | 2 | $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ | $\displaystyle 2\angle \frac{3\pi}{2}$ | $\displaystyle 2i$ |
Alakváltás
$\displaystyle z1=\sqrt{3} + i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle z2=1 + i=1.41421\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{\pi}{4}}$
$\displaystyle z3=-2i=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)=2e^{i\frac{3\pi}{2}}$
Komplex halmazok
|z|=2
|z-(1+i)|<1.5
Re(z)>=0
Komplex műveletek
| Művelet | Eredmény | $\displaystyle \left|z\right|$ | $\displaystyle \operatorname{arg}(z)$ | Kiegészítő alak |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle z_{1} + z_{2}$ | $\displaystyle 2.73205 + 2i$ | 3.38587 | $\displaystyle 0.20114\pi$ | $\displaystyle 3.38587\angle 0.20114\pi$ |
| $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ | $\displaystyle 0.73205 + 2.73205i$ | 2.82843 | $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$ | $\displaystyle 2.82843\angle \frac{5\pi}{12}$ |
Geometriai logika
vektorösszeg
$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$
A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r(\theta)=2$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r(\theta)=1+\cos(\theta)$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \sin(3\cdot \theta)$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r(\theta)=\theta$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r(\theta)=1+2\cdot \cos(\theta)$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Függvények / egyenletek
Polár alak
$\displaystyle r_{1}(\theta)=1+\cos(\theta)$
Paraméteres átírás
$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$
Polár alak
$\displaystyle r_{2}(\theta)=2\cdot \sin(3\cdot \theta)$
Polár alak
$\displaystyle r_{3}(\theta)=\theta$
