grafikonok

1.1 – Lineáris

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=2x+1$

1.2 Másodfokú

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=x^2-4$

1.2.1 Polinom

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=x^4+2x^3+x^2+2x-2$

1.3 Harmadfokú

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=x^3-3x$

1.4 Abszolút_érték

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\left|x-2\right|$

1.5 Gyökfüggvény

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\sqrt{x+1}$

1.6 Racionális kifejezés

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y_{1}=1/(x-1)$

$\displaystyle x=1$

1.7 – Exponenciális

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\exp(x)$

1.8 Természetes logaritmus

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\ln(x)$

1.9 Tízes alapú logaritmus

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\log_{10}(x)$

1.10 – Szinusz

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\sin(x)$

1,11 Koszinusz

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\cos(x)$

1.12 – Tangens

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\tan(x)$

1.13 – Inverz – arcsin

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\arcsin(x)$

1.14 – Inverz – arccos

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\arccos(x)$

1.15 – Inverz – arctan

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\arctan(x)$

1.16 – Hiberbolikus – sin

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\sinh(x)$

1.17 – Hiperbolikus – cos

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\cosh(x)$

1.18 – Hiperbolikus – tan

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\tanh(x)$

1.19 – Asszimptota

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(3\cdot x^2-2\cdot x-1)/(2\cdot x^2+3\cdot x-2)$

1.19.1 – Aszimptota_teszt

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(3\cdot x^2-2\cdot x-1)/(2\cdot x^2+3\cdot x-2)$

Függvényábra

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(2\cdot x^2+7\cdot x-4)/(x^2+x-2)$

Függvényábra

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(x^2-4\cdot x)/(2\cdot x^2+2\cdot x)$

Függvényábra

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(x^2-4)/(2\cdot x^2+2\cdot x)$

Függvényábra

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=5\cdot x^4+6\cdot x^3-4\cdot x-5$

2.1 Több függvény egyszerre

Függvények / egyenletek

lineáris

$\displaystyle y_{1}=2\cdot x+1$

parabola

$\displaystyle y_{2}=x^2-4$

köbös

$\displaystyle y_{3}=x^3-3\cdot x$

2.2 Racionális görbék

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y_{1}=1/(x-1)$

$\displaystyle y_{2}=1/(x+1)$

$\displaystyle y_{3}=(x-1)-8/(x-3)$

2.3 – Paraméteres görbe – kör

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x(t)=3\cdot \cos(t);y(t)=3\cdot \sin(t);tmin=0;tmax=2\cdot \pi$

2.4. Paraméteres görbe – ellipszis

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x(t)=4\cdot \cos(t);y(t)=2\cdot \sin(t);tmin=0;tmax=2\cdot \pi$

2.5 – Paraméteres – egyenes

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x(t)=t; y(t)=2\cdot t+1; tmin=-3; tmax=3$

3.1 – Implicit – kör

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2=9$

3.2 – Implicit – ellipszis

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2/16+y^2/4=1$

3.3 – Implicit – parabola

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y^2=4\cdot x$

3.4 – Implicit – Hiperbola

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2-y^2=1$

4.1 – Háromfeltételes – Negyed körlap

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

4.2 – Háromfeltételes – Parabola

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\ge x^2$

$\displaystyle y\le 4$

$\displaystyle x\ge 0$

4.3 – Háromfeltételes – Háromszög

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x+y\le 4$

5.1 – Csak közös tartomány

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

5.2 – Közös + egyedi

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

5.3 – Csak egyedi tartományok

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

6.1 Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\le \cos(x)$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x\ge 0$

6.2 – Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\le \tan(x)$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x\ge 0$

6.3 – Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\ge \sin(x)$

$\displaystyle y\le 0.5$

$\displaystyle x\ge 0$

Függvényábra

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=\sin(x)$

Teszt 1 – master switch

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

Teszt 2 – Közös tartomány

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

Teszt 3 – Közös + egyedi

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

Teszt 4 – Csak egyedi tartományok

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x^2+y^2\le 9$

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

Teszt 5 . Parabola közös tartomány

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\ge x^2$

$\displaystyle y\le 4$

$\displaystyle x\ge 0$

Teszt 6 – Háromszög

Függvények / egyenletek

$\displaystyle x\ge 0$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x+y\le 4$

Teszt 7 – Trig 6.1

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\le \cos(x)$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x\ge 0$

Teszt 8 – Trig 6.2

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\le \tan(x)$

$\displaystyle y\ge 0$

$\displaystyle x\ge 0$

Teszt 9 – Trig 6.3

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y\ge \sin(x)$

$\displaystyle y\le 0.5$

$\displaystyle x\ge 0$

Ferde aszimptota

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(x-1)-8/(x-3)$

Ferde aszimptota – kézi beállítás

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y_{1}=(x-1)-8/(x-3)$

Ferde aszimptota – teszt 2

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=x^2/(x-2)$

Ferde aszimptota – teszt 3

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(x^2-2x-8)/x$

Ferde aszimptota – Teszt 4

Függvények / egyenletek

$\displaystyle y=(x^3+4)/(2x^2+x-1)$

Komplex – Teszt 1

Komplex – Teszt 2

Komplex – Teszt 3

Komplex – Összeadás

Komplex – Összeadás – 1

Komplex – kivonás

Komplex – Összeadás + Kivonás

Komplex – polár + algebra

Komplex – szorzás és osztás

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 2 + i$	2.23607	$\displaystyle 0.14758\pi$	$\displaystyle 2.23607\angle 0.14758\pi$	$\displaystyle 2 – i$
z2	$\displaystyle 1 + 2i$	2.23607	$\displaystyle 0.35242\pi$	$\displaystyle 2.23607\angle 0.35242\pi$	$\displaystyle 1 – 2i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=2 + i=2.23607\left(\cos\left(0.14758\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.14758\pi\right)\right)=2.23607e^{i0.14758\pi}$

$\displaystyle z2=1 + 2i=2.23607\left(\cos\left(0.35242\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.35242\pi\right)\right)=2.23607e^{i0.35242\pi}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle 5i$	5	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle 5\angle \frac{\pi}{2}$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – szorzás

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 2$	2	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2\angle 0$	$\displaystyle 2$
z2	$\displaystyle 3$	3	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 3\angle 0$	$\displaystyle 3$

Alakváltás

$\displaystyle z1=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$

$\displaystyle z2=3=3\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=3e^{i0}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle 6$	6	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 6\angle 0$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – szorzás i-vel: 90°-os forgatás

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 3 + 2i$	3.60555	$\displaystyle 0.18717\pi$	$\displaystyle 3.60555\angle 0.18717\pi$	$\displaystyle 3 – 2i$
z2	$\displaystyle i$	1	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle 1\angle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle -i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=3 + 2i=3.60555\left(\cos\left(0.18717\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.18717\pi\right)\right)=3.60555e^{i0.18717\pi}$

$\displaystyle z2=i=1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=1e^{i\frac{\pi}{2}}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle -2 + 3i$	3.60555	$\displaystyle 0.68717\pi$	$\displaystyle 3.60555\angle 0.68717\pi$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – osztás, algebrai alak

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 4 + 2i$	4.47214	$\displaystyle 0.14758\pi$	$\displaystyle 4.47214\angle 0.14758\pi$	$\displaystyle 4 – 2i$
z2	$\displaystyle 1 + i$	1.41421	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 1.41421\angle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 1 – i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=4 + 2i=4.47214\left(\cos\left(0.14758\pi\right)+i\cdot\sin\left(0.14758\pi\right)\right)=4.47214e^{i0.14758\pi}$

$\displaystyle z2=1 + i=1.41421\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{\pi}{4}}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$	$\displaystyle 3 – i$	3.16228	$\displaystyle 1.89758\pi$	$\displaystyle 3.16228\angle 1.89758\pi$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – osztás polár alakban

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 6$	6	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 6\angle 0$	$\displaystyle 6$
z2	$\displaystyle 2$	2	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2\angle 0$	$\displaystyle 2$

Alakváltás

$\displaystyle z1=6=6\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=6e^{i0}$

$\displaystyle z2=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$	$\displaystyle 3$	3	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 3\angle 0$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – szorzás és osztás

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 2 + 2i$	2.82843	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 2.82843\angle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 2 – 2i$
z2	$\displaystyle 1 – i$	1.41421	$\displaystyle \frac{7\pi}{4}$	$\displaystyle 1.41421\angle \frac{7\pi}{4}$	$\displaystyle 1 + i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=2 + 2i=2.82843\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2.82843e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle z2=1 – i=1.41421\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{7\pi}{4}}$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle 4$	4	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 4\angle 0$
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$	$\displaystyle 2i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{2}$

Geometriai logika

$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$

$\displaystyle |z_1|/|z_2|,\;arg_1-arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – de Moivre gyökök

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle 2$	2	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2\angle 0$	$\displaystyle 2$

Alakváltás

$\displaystyle z1=2=2\left(\cos\left(0\right)+i\cdot\sin\left(0\right)\right)=2e^{i0}$

Gyökök megoldása

$\displaystyle w_k=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)\right]$

$\displaystyle \sqrt[3]{2}=1.25992$

$\displaystyle k=0, 1, 2$

$\displaystyle w_{0}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 0\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 0\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right)=1.25992$

$\displaystyle w_{1}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 1\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 1\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)=-0.62996 + 1.09112i$

$\displaystyle w_{2}=\sqrt[3]{2}\left[\cos\left(\frac{0+2\cdot 2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2\cdot 2\pi}{3}\right)\right]=1.25992\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)=-0.62996 – 1.09112i$

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1}^{3}$	$\displaystyle z1^{3}=8\left(\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right)=8$	8	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 8\angle 0$ ; $\displaystyle 8$

Geometriai logika

$\displaystyle \lvert z \rvert^{n}\left(\cos(n\theta)+i\cdot\sin(n\theta)\right)$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Komplex – de Moivre gyökök 2

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z	$\displaystyle -64$	64	$\displaystyle \pi$	$\displaystyle 64\angle \pi$	$\displaystyle -64$

Alakváltás

$\displaystyle z=-64=64\left(\cos\left(\pi\right)+i\cdot\sin\left(\pi\right)\right)=64e^{i\pi}$

Gyökök megoldása

$\displaystyle w_k=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\right)\right]$

$\displaystyle \sqrt[6]{64}=2$

$\displaystyle k=0, 1, 2, 3, 4, 5$

$\displaystyle w_{0}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 0\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 0\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} + i$

$\displaystyle w_{1}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 1\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 1\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=2i$

$\displaystyle w_{2}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 2\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 2\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)=-\sqrt{3} + i$

$\displaystyle w_{3}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 3\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 3\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)=-\sqrt{3} – i$

$\displaystyle w_{4}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 4\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 4\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)=-2i$

$\displaystyle w_{5}=\sqrt[6]{64}\left[\cos\left(\frac{\pi+2\cdot 5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\cdot 5\pi}{6}\right)\right]=2\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} – i$

Megoldás / részletek

$z^n=r^n(cos(n\theta)+i\cdot sin(n\theta))$

Komplex – Euler szög – 1

Komplex infó doboz

Euler / egységkör kapcsolat

$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

$\displaystyle e^{i0}=\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)=1$

Re = cos(θ) = 1, Im = sin(θ) = 0

Komplex – Euler szög – 2

Komplex – Euler szög – 3

Komplex – Euler szög általános

Komplex infó doboz

Euler / egységkör kapcsolat

$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

$\displaystyle e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

Re = cos(θ) = 0.86603, Im = sin(θ) = 0.5

$\displaystyle z=r e^{i\theta}=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$

$\displaystyle z=2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3} + i$

Komplex . Euler parser

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle \sqrt{3} + i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \sqrt{3} – i$
z2	$\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{2}i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \sqrt{2} – \sqrt{2}i$
z3	$\displaystyle 1 + \sqrt{3}i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle 1 – \sqrt{3}i$
z4	$\displaystyle 2i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle -2i$
z5	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$	1	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 1\angle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=\sqrt{3} + i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle z2=\sqrt{2} + \sqrt{2}i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle z3=1 + \sqrt{3}i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle z4=2i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle z5=\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i=1\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1e^{i\frac{\pi}{4}}$

Komplex – Minden bent

Komplex infó doboz

Alap komplex adatok

Jel	Algebrai alak	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Polár alak	$\displaystyle \overline{z}$
z1	$\displaystyle \sqrt{3} + i$	2	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle 2\angle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \sqrt{3} – i$
z2	$\displaystyle 1 + i$	1.41421	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 1.41421\angle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle 1 – i$
z3	$\displaystyle -2i$	2	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$\displaystyle 2\angle \frac{3\pi}{2}$	$\displaystyle 2i$

Alakváltás

$\displaystyle z1=\sqrt{3} + i=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle z2=1 + i=1.41421\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=1.41421e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle z3=-2i=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)=2e^{i\frac{3\pi}{2}}$

Komplex halmazok

|z|=2

|z-(1+i)|<1.5

Re(z)>=0

Komplex műveletek

Művelet	Eredmény	$\displaystyle \left\|z\right\|$	$\displaystyle \operatorname{arg}(z)$	Kiegészítő alak
$\displaystyle z_{1} + z_{2}$	$\displaystyle 2.73205 + 2i$	3.38587	$\displaystyle 0.20114\pi$	$\displaystyle 3.38587\angle 0.20114\pi$
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$	$\displaystyle 0.73205 + 2.73205i$	2.82843	$\displaystyle \frac{5\pi}{12}$	$\displaystyle 2.82843\angle \frac{5\pi}{12}$

Geometriai logika

vektorösszeg

$\displaystyle |z_1||z_2|,\;arg_1+arg_2$

A De Moivre-hatványok és n-edik gyökök az infó dobozban geometriai/trigonometrikus alakban jelennek meg.

Polár – Teszt 1

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – Teszt 2

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=1+\cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – Teszt 3

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \sin(3\cdot \theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – Teszt 4

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=\theta$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – Teszt 5

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=1+2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – Több polár egyszerre

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r_{1}(\theta)=1+\cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár alak

$\displaystyle r_{2}(\theta)=2\cdot \sin(3\cdot \theta)$

Polár alak

$\displaystyle r_{3}(\theta)=\theta$

Polár – education – 1

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – education – 2

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – education 3

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=5/\cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – education 4

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \sin(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – education 5

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2+2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – education – 6

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=1+2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – átírás példa 1

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=2\cdot \cos(\theta)$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – animáció

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=3\cdot \sin(2\cdot \cos(4\cdot \theta))$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Polár – animáció 2

Függvények / egyenletek

Polár alak

$\displaystyle r(\theta)=3\cdot \sin(2\cdot \cos(6\cdot \theta))$

Paraméteres átírás

$\displaystyle x=r(\theta)\cos(\theta),\quad y=r(\theta)\sin(\theta)$

Számegyenes – intervallumok

Nyitott intervallum (-2, 3)

Számegyenes – intervallumok

Zárt intervallum [-2, 3]

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Speciális ponttípusok

Alap intervallum (-4, 4)

Pontjelölések

nullahely · Kritikus jelölések x = -3 nullahely / gyök f(x)=0

lyuk · Kritikus jelölések x = -1 lyuk / kizárt pont nevező nulla, kizárt pont

aszimptota · Kritikus jelölések x = 0 aszimptota / pólus függőleges aszimptota

kritikus · Kritikus jelölések x = 1.5 kritikus pont derivált nulla vagy nem létezik

min · Kritikus jelölések x = 3 minimumjelölő lokális minimum jelölése

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Egyenlőtlenség → intervallum

Egyszerű egyenlőtlenség x < 3 ⇔ x ∈ (-∞, 3)

Zárt végpont x <= 3 ⇔ x ∈ (-∞, 3]

Kétoldali egyenlőtlenség -2 < x <= 3 ⇔ x ∈ (-2, 3]

Fordított alak 4 >= x > -1 ⇔ x ∈ (-1, 4]

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Abszolútérték a számegyenesen

|x| < 3 |x| < 3 ⇔ x ∈ (-3, 3)

|x| ≤ 3 |x| <= 3 ⇔ x ∈ [-3, 3]

|x| > 3 |x| > 3 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (3, ∞)

|x| ≥ 3 |x| >= 3 ⇔ x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, ∞)

Pontjelölések

középpont · Középpont x = 0 jelölő innen mérjük a távolságot

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Eltolt abszolútérték-intervallumok

|x – 2| < 5 |x – 2| < 5 ⇔ x ∈ (-3, 7)

|x + 1| ≥ 4 |x + 1| >= 4 ⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [3, ∞)

|x – 3| ≤ 2 |x – 3| <= 2 ⇔ x ∈ [1, 5]

Pontjelölések

a = 2 · x-2 x = 2 jelölő

a = -1 · x+1 x = -1 jelölő

a = 3 · x-3 x = 3 jelölő

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Számegyenes – intervallumok

Nyitott intervallum (-2, 3)

Zárt intervallum [-2, 3]

Vegyes intervallum (-2, 3]

Végtelen intervallum (-∞, 1]

Unió (-∞, -1] ∪ (2, ∞)

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Előjelvizsgálat – racionális kifejezés

Vizsgált kifejezés: f(x)=(x-1)/(x+2)

Kritikus pontok: pólus: x=-2 nullahely: x=1

f(x) + | − | + f(x)>0: (-∞,-2) ∪ (1,∞); f(x)<0: (-2,1)

Előjelvizsgáló jelölések

Kritikus pont: olyan x-érték, ahol a kifejezés nulla, nem értelmezett, vagy ahol előjelváltozás vizsgálható.

+ / −: az adott nyílt intervallumon a kifejezés pozitív vagy negatív.

0: nullahely vagy derivált esetén stacionárius/kritikus pont lehet.

∅: kizárt pont, szakadás, pólus vagy aszimptota helye.

Derivált előjele – monotonitás

Vizsgált kifejezés: f(x)=x^5+3x^2-1; f'(x)=5x^4+6x=x(5x^3+6)

Kritikus pontok: x=-∛(6/5); x≈-1.063 x=0

f'(x) + | − | + f nő (-∞,-∛(6/5)), csökken (-∛(6/5),0), majd nő (0,∞)

Előjelvizsgáló jelölések

Kritikus pont: olyan x-érték, ahol a kifejezés nulla, nem értelmezett, vagy ahol előjelváltozás vizsgálható.

+ / −: az adott nyílt intervallumon a kifejezés pozitív vagy negatív.

0: nullahely vagy derivált esetén stacionárius/kritikus pont lehet.

∅: kizárt pont, szakadás, pólus vagy aszimptota helye.

3 halmaz – unió

Művelet:Unió=1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8

A = {1, 2, 3, 4, 7}

B = {3, 4, 5, 6, 7}

C = {2, 4, 6, 7, 8}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Felbontás: A csak: 1 B csak: 5 C csak: 8 A∩B csak: 3 A∩C csak: 2 B∩C csak: 6 közös mindháromban: 4, 7 kívül: 9

Háromhalmazos jelölések

A ∪ B ∪ C: minden elem, amely legalább az egyik halmazban benne van.

A ∩ B ∩ C: azok az elemek, amelyek mindhárom halmaz közös részében vannak.

A \ (B ∪ C): azok az elemek, amelyek csak A-ban vannak.

(A ∩ B) \ C: A és B közösek, de C-ben már nincsenek benne.

De Morgan 1

Lapozható De Morgan-galéria: egy teljes azonosság látszik egyszerre, utána lapozható a következő.

1. azonosság

(A \cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}

(A \cup B)^{c}

A^{c}\cap B^{c}

Az unió komplementere: csak az A-n és B-n kívüli közös külső tartomány.

De Morgan:(A∩B)^c=A^c∪B^c;(A∪B)^c=A^c∩B^c

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

De Morgan magyarázat

(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ: ami nincs benne a közös részben, az kívül van A-n vagy kívül van B-n.

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ: ami nincs benne az unióban, az egyszerre kívül van A-n és B-n is.

Számhalmazok

ℂ

ℝ

ℚ

ℤ

ℕ

irracionális számok

Descartes-szorzat

Descartes-szorzat és gráf

AxB

Rendezett párok:(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)

Domain / range – polinom

Függvény domain / range

f(x)=x^3+2x^2+1(-∞,∞)[0,∞)

Környezet

N_δ(a) (0.5, 3.5)

0<|x-a|<δ (0.5, 2) ∪ (2, 3.5)

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Lyukas környezet

N_δ(a) (0.5, 3.5)

0<|x-a|<δ (0.5, 2) ∪ (2, 3.5)

Számegyenes jelölések

Nyitott végpont: üres kör; a végpont nem tartozik a halmazhoz.

Zárt végpont: kitöltött kör; a végpont is része a halmaznak.

Végtelen irány: nyíl; a tartomány korlátlanul folytatódik balra vagy jobbra.

Unió: több külön részintervallum ugyanazon a számegyenesen.

Speciális pontok: nullahely, lyuk/kizárt pont, aszimptota, kritikus pont, minimum/maximum és jelölő is megadható a pontlistában.

Abszolútérték: a |x-a|<r alak a középponttól mért távolságot mutatja; a kisebb relációk belső intervallumot, a nagyobb relációk két külső félegyenest adnak.

Gráfok

Csúcsok: V = {A, B, C, D, E}

Élek: E = {A–B, A–C, B–D, C–D, D–E}

Gyors áttekintés

|V|=5|E|=5irányítatlan1 komponens

Oktatási fókusz

Irányítatlan gráfban az él két csúcs közötti kapcsolat, nincs kezdő- és végpont.

Éllista

A–BA–CB–DC–DD–E

Komponensek

K1={A, B, C, D, E}

Fokszám / szomszédság

A: fok=2B: fok=2C: fok=2D: fok=3E: fok=1

Szomszédsági lista

A: B, CB: A, DC: A, DD: B, C, EE: D

Gráf jelölések

V: csúcsok halmaza.

E: élek halmaza. Irányított gráfnál az él rendezett párként értelmezhető.

Fokszám: az adott csúcshoz kapcsolódó élek száma.

Út/kör: a kiemelt narancs élek mutatják az aktuális bejárást.

Komponens: olyan részgráf, amelyen belül a csúcsok egymással összefüggnek.

Gráfok – irányított gráf

Csúcsok: V = {A, B, C, D}

Élek: E = {A→B, A→C, B→D, C→D}

Gyors áttekintés

|V|=4|E|=4irányított1 komponens

Oktatási fókusz

Irányított gráfban az élnek iránya van: A→B nem ugyanaz, mint B→A.

Éllista

A→BA→CB→DC→D

Komponensek

K1={A, B, C, D}

Fokszám / szomszédság

A: befok=0, kifok=2B: befok=1, kifok=1C: befok=1, kifok=1D: befok=2, kifok=0

Szomszédsági lista

A: B, CB: DC: DD: ∅

Gráf jelölések

V: csúcsok halmaza.

E: élek halmaza. Irányított gráfnál az él rendezett párként értelmezhető.

Fokszám: az adott csúcshoz kapcsolódó élek száma.

Út/kör: a kiemelt narancs élek mutatják az aktuális bejárást.

Komponens: olyan részgráf, amelyen belül a csúcsok egymással összefüggnek.

Gráfok – súlyozott gráf

Csúcsok: V = {A, B, C, D}

Élek: E = {A–B:5, A–C:2, B–D:3, C–D:4}

Gyors áttekintés

|V|=4|E|=4irányítatlansúlyozott1 komponens

Oktatási fókusz

Súlyozott gráfban az élekhez érték tartozik, például távolság, költség vagy kapacitás.

Éllista

A–B:5A–C:2B–D:3C–D:4

Komponensek

K1={A, B, C, D}

Fokszám / szomszédság

A: fok=2B: fok=2C: fok=2D: fok=2

Szomszédsági lista

A: B, CB: A, DC: A, DD: B, C

Gráf jelölések

V: csúcsok halmaza.

E: élek halmaza. Irányított gráfnál az él rendezett párként értelmezhető.

Fokszám: az adott csúcshoz kapcsolódó élek száma.

Út/kör: a kiemelt narancs élek mutatják az aktuális bejárást.

Komponens: olyan részgráf, amelyen belül a csúcsok egymással összefüggnek.

Csillaggráf

Csúcsok: V = {A, B, C, D, E, F}

Élek: E = {A–B, A–C, A–D, A–E, A–F}

Gyors áttekintés

|V|=6|E|=5irányítatlan1 komponens

Oktatási fókusz

Csillaggráfban egy központi csúcs kapcsolódik a többi csúcshoz.

Éllista

A–BA–CA–DA–EA–F

Komponensek

K1={A, B, C, D, E, F}

Fokszám / szomszédság

A: fok=5B: fok=1C: fok=1D: fok=1E: fok=1F: fok=1

Szomszédsági lista

A: B, C, D, E, FB: AC: AD: AE: AF: A

Gráf jelölések

V: csúcsok halmaza.

E: élek halmaza. Irányított gráfnál az él rendezett párként értelmezhető.

Fokszám: az adott csúcshoz kapcsolódó élek száma.

Út/kör: a kiemelt narancs élek mutatják az aktuális bejárást.

Komponens: olyan részgráf, amelyen belül a csúcsok egymással összefüggnek.

$$\frac{a^{2}}{b} \int_0^5 sin(2x)\,dx \lim_{x \to \infty}f(x) $$

Síkgráf – élkeresztezés nélkül

Kúpszeletek

metszési magasság y=3

Kúpszelet magyarázat

A TT kúpszeletek blokk oktatási vizualizáció: a paramétereket a tanár/adatsor adja meg, a blokk pedig standard alakot, fő pontokat és jelöléseket rajzol.

Nem CAS: az általános másodfokú alak automatikus algebrai felismerése későbbi, külön lépés lehet.

Ellipszis – vízszintes főtengely

metszési magasság y=2

Parabola – felfelé

x-irányú síkelmozgatás x=1.4

Kúpszelet magyarázat

A TT kúpszeletek blokk oktatási vizualizáció: a paramétereket a tanár/adatsor adja meg, a blokk pedig standard alakot, fő pontokat és jelöléseket rajzol.

Nem CAS: az általános másodfokú alak automatikus algebrai felismerése későbbi, külön lépés lehet.

Hiperbola – vízszintes

x-irányú síkelmozgatás x=1.2

Kúpszelet magyarázat

A TT kúpszeletek blokk oktatási vizualizáció: a paramétereket a tanár/adatsor adja meg, a blokk pedig standard alakot, fő pontokat és jelöléseket rajzol.

Nem CAS: az általános másodfokú alak automatikus algebrai felismerése későbbi, külön lépés lehet.

Teszt_1

grafikonok

Tibor_tech

Kapcsolódó bejegyzések

Korrózió

Krómkarbid

Gömbgrafit

„Frank Lloyd Wright remains America’s greatest architect”

Vélemény, hozzászólás? Válasz megszakítása

Rovatok

Tudásanyagok

grafikonok

Tibor_tech

Kapcsolódó bejegyzések

Korrózió

Krómkarbid

Gömbgrafit

„Frank Lloyd Wright remains America’s greatest architect”

Vélemény, hozzászólás? Válasz megszakítása

Rovatok

Tudásanyagok

Üdv újra :)

Jelszó visszaállítása

Biztosan feloldod ezt a cikket?

Tényleg törölni szeretnéd a tagságod?